Z-transform

연속 시스템은 변화율에 대한 관계식을 나타내는 미분방정식으로 표현되었다.

이산에서 "변화율"에 해당되는 가장 작은 간격이 1스텝이므로, 변화를 표현하는 최소 단위는 현재 값과 한 스텝 전 값의 차이, 즉 차분 y[n] - y[n-1] 이다.

미분이 차분으로 대체되므로, 시스템은 현재와 과거 값들 사이의 관계식인 차분방정식으로 표현된다.

\[y[n] + a_1 y[n - 1] + a_0 y[n - 2] = 0\]

연속에서와 마찬가지로 차분방정식 \(y[n], y[n-1], y[n-2]\) 의 상수배 합이 모든 n에서 0이려면 세 항은 전부 같은 함수의 상수배여야 한다.

그러면 n → n-1로 tiem shift시켜도 함수의 형태(커널)가 변하지 않아야 한다.

이에 적합한 함수는 \(y[n] = z^n\) 이 된다.

\(y[n] = z^n\) 를 가정하면 처럼 n-2 → n-1스탭(한 스탭) 이 동하면 z가 곱해지는 특징이 나타난다.

y[n-2] = z^{n-2} \rightarrow y[n-1] = z^{n-1}

이를 일반화해서 봐보면 \(y[n] = z^n\) 를 가정한다면 상수 \(\lambda\) 에 대해 \(y[n-1] = \lambda\, y[n]\) 이 모든 n에서 성립해야 한다.

\begin{align} &y[1] = \frac{1}{\lambda}·y[0]\\[10pt] &y[2] = \frac{1}{\lambda}·y[1] = \frac{1}{\lambda}·\frac{1}{\lambda}·y[0] = \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2·y[0] \\[10pt] &y[3] = \frac{1}{\lambda}·y[2] = \left(\frac{1}{\lambda}\right)^3·y[0] \end{align}

임으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

y[n] = \frac{1}{\lambda}y[n-1] = \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 y[n-2] = \cdots = \left(\frac{1}{\lambda}\right)^n y[0]

매 스텝 곱해지는 공비 \(\frac{1}{\lambda}\)를 z라 하고, 초항 y[0]을 c라고 하면 \(y[n]=\text{c}\cdot z^n\) 처럼 쓸 수 있다.

연속신호와의 비교 이해

연속신호에서 해 family라고 가정했던 \(e^{st}\)는 s가 미지수로 정해지지 않은 값이였다.

실제로 s를 구하기 위해 풀어보면

s^2 e^{st} + 3se^{st} + 2e^{st} = 0 \implies s^2 + 3s + 2 = 0 \implies s = -1, -2

위와 같은 방정식으로 부터 s를 구할 수 있다.

가정 단계의 \(e^{st}\) 는 함수 하나가 아니라 s값마다 하나씩 있는 함수 family였고, 방정식이 그중 \(e^{-t}\)와 \(e^{-2t}\) 두 개가 나온 것이다.

이산에서 zⁿ이라고 쓰는 것도 동일한 방식인데 해가 어떤 등비수열(매 스텝 같은 수가 곱해지는 수열)일 것이다. 라고 가정한다. 그 곱해지는 수 z가 뭔지는 모르겠으니 방정식을 통해서 구해준다.

y[n] + 3y[n-1] + 2y[n-2] = 0 \implies z^2 + 3z + 2 = 0 \implies z = -1, -2

즉 연속은 s가 미지수, 이산은 z가 미지수이고, 특성방정식이 그 미지수를 채우는 역할을 한다.

\[y[n] + a_1 y[n - 1] + a_0 y[n - 2] = 0\]

위 식에 \(y[n] = z^n\) 을 대입하면

z^n + a_1 z^{n-1} + a_0 z^{n-2} = 0

되고 공통인자 \(z^{n-2}\) 로 묶으면

z^{n-2}\left(z^2 + a_1 z + a_0\right) = 0

\(z = 0\) 이면 \(y[n] \equiv 0\) 인 자명해이므로 제외한다. \(z \neq 0\) 이면 \(z^{n-2} \neq 0\) 이므로, 이 식이 모든 n에서 성립할 유일한 방법은 괄호안의 이차 방정식이 0인 것이다.