Pole이 시간영역에서 미치는 영향

#제어공학 작성 2026년 7월 5일

목차

왜 이 장에서는 시스템의 해가 지수함수의 꼴이며 이때 Pole값이 시간응답에 미치는 영향에 대해 알아본다.

시스템의 해 \(e^{st}\) 이유

시스템은 일반적으로 미분방정식으로 기술된다. \(a_2 \ddot{y} + a_1 \dot{y} + a_0 y = 0\)
이 미분방정식은 \(\ddot{y},\ \dot{y},\ \raisebox{0.15em}{$y$}\) 항의 상수배 합이 모든 t에서 0이여야 한다.
상수배 합으로 항들이 서로 지워지려면, 항들이 같은 종류의 함수여야 한다.
그런데 \(\ddot{y},\ \dot{y}\)는 y의 미분임으로 y와 그 미분들이 같은 종류이려면 → 미분해도 꼴이 안 변하는 함수여야 한다.
이때 지수함수 \(e^{st}\)는 몇 번을 미분해도 자기 자신 \(e^{st}\)가 유지된다. 미분방정식에 넣으면 모든 항이 공통인 \(e^{st}\)로 묶여 특성방정식이 0이 되는 조건으로 바뀌어 t와 무관한 대수 방정식만 풀면 되는 문제로 축약된다.
따라서 시간영역 해가 자연상수 밑의 지수방정식으로 표현되는 이유이다.

Example

\(\ddot{y} + 3 \dot{y} + 2 y = 0\)

y = e^{st}, \quad \dot{y} = s e^{st}, \quad \ddot{y} = s^2 e^{st}

대입하면

\begin{align} &(s^2 + 3s + 2) e^{st} = 0 \\[5pt] &s^2 + 3s + 2 = 0 \\[5pt] &s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2) = 0 \Rightarrow s_1 = -1, \quad s_2 = -2 \\[5pt] &y(t) = Ae^{-t} + Be^{-2t} \end{align}

가 되며 실제로 모든 t에서 상쇄되는지 \(y=e^{-t}\) 해를 넣어 확인해보면

\ddot{y} + 3\dot{y} + 2y = e^{-t} - 3e^{-t} + 2e^{-t} = (1 - 3 + 2)e^{-t} = 0 \cdot e^{-t} = 0

라플라스 쪽에서 확인해도 특성방정식의 근과 pole이 일치함을 확인할 수 있다.

H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} \Rightarrow \text{pole} = -1, -2

따라서 s-plane의 pole은 시간 영역 \(e^{pt}\) 라는 성분의 지수 값으로 실체화되어 폴의 위치가 시간 응답 성분을 결정한다.

pole값에 따른 수렴/발산

pole 값이 실수인 경우

\begin{align}s_1 = -2, \ s_2 = -3 &\rightarrow h(t) = Ae^{-2t} + Be^{-3t} \rightarrow \text{감쇄(수렴)} \\[10pt]s_1 = 2, \ s_2 = 3 &\rightarrow h(t) = Ae^{2t} + Be^{3t} \rightarrow \text{발산}\end{align}

pole값이 복소수인 경우

pole값이 복소수라는 의미는 미분방정식의 해가 복소수를 가지는 경우이며 미분방정식의 해가 복소수인 경우는 특성방정식의 해가 근의 공식을 통해서 구해지며 판별식이 음수가 나오는 경우이다.
따라서 복소 pole은 반드시 켤례쌍이 나오게된다. \(\sigma \pm jw\)

s_1 = \sigma + j\omega, \quad s_2 = \sigma - j\omega

실제로 대입해보면

h(t) = Ae^{(\sigma + j\omega)t} + Be^{(\sigma - j\omega)t}

되고 공통인자 \(e^{\sigma t}\)로 묶으면

h(t) = e^{\sigma t} \left( Ae^{j\omega t} + Be^{-j\omega t} \right)

e^{j\omega t} = \cos \omega t + j \sin \omega t \\[10pt] e^{-j\omega t} = \cos(-\omega t) + j \sin(-\omega t) = \cos \omega t - j \sin \omega t \\[10pt] Ae^{j\omega t} + Be^{-j\omega t} =A(\cos \omega t + j \sin \omega t) + B(\cos \omega t - j \sin \omega t) \\[10pt] \begin{aligned} Ae^{j\omega t} + Be^{-j\omega t} &= A \cos \omega t + jA \sin \omega t + B \cos \omega t - jB \sin \omega t \\[10pt] C &\equiv A + B, \quad D \equiv j(A - B) \\[10pt] h(t) &= e^{\sigma t}(C \cos \omega t + D \sin \omega t) \end{aligned}

꼴이 된다. 이후 쭉 풀어가면 최종적으로 아래와 같은 꼴이 된다.

h(t) = \underbrace{Ke^{\sigma t}}_{\text{실수부: 크기(포락선)}} \cdot \underbrace{\cos(\omega t + \phi)}_{\text{허수부: 진동}}

이렇게되서 앞에 첫번째항은 시스템의 크기를 담당 두번째항은 시스템의 진동을 담당하게된다.

\(e^{\sigma t} \cdot |e^{j\omega t}| = 1\) 이므로 크기는 오직 \(\sigma\)가 결정
- \(\sigma < 0\) : 감쇠
- \(\sigma > 0 \) : 발산
\(\cos(\omega t + \phi)\) 크기 1로 고정된 채 각속도 w로 회전(진동)만 담당