소행렬식(Minor Determinant)
\(n\times n\) 정방행렬 A에서 어떤 원소 \(a_{ij}\)를 기준으로 \(i\)번째 행과 \(j\)번째 열을 제거한 뒤 남은 부분행렬의 determinant를 소행렬식이라고 한다.
이를
\[M_{ij}\]
예를 들어
\[A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 4
\end{bmatrix}\]
(1, 1) 원소의 소행렬식
위와 같은 행렬이 있을 때 1행과 1열을 제거한 행렬의 소행렬식을 다음과 같이 표기한다.
\[M_{11} = \begin{vmatrix}1 & 2 \\0 & 4\end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 0 = 4\]
(2, 3) 원소의 소행렬식
2행과 3열을 제거한 행렬의 소행렬식을 다음과 같이 표기한다.
\[M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\-1 & 0\end{vmatrix} = 0\]
여인수(Cofactor)
소행렬식 \(M_{ij}\)에 위치에 따른 부호
\[(-1)^{i+j}\]
를 곱한 것을 여인수라고 한다.
\[C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]
3x3 행렬의 경우 부호의 규칙이 다음과 같다.
\[\begin{bmatrix}+ & - & + \\- & + & - \\+ & - & +\end{bmatrix}\]
예를들어
\[A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 4
\end{bmatrix}\]
\(C_{12}\) 예시
먼저 1행과 2열을 제거한 소행렬식을 구한다.
\[M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\-1 & 4\end{vmatrix}\]
따라서
\[M_{12} = 0 \cdot 4 - 2(-1) = 2\]
(1, 2) 위치는 음수 부호이므로
\[C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} \\[0.5em]= (-1)^3 (2) \\[0.5em]C_{12} = -2\]
가 된다.
\(C_{31}\) 예시
3행과 1열을 제거하면
\[M_{31} = \begin{vmatrix}0 & 1 \\1 & 2\end{vmatrix}\]
이므로
\[M_{31} = 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = -1\]
이다.
(3, 1) 위치는 양수이므로
\[\begin{align*}C_{31} &= (-1)^{3+1} M_{31} \\&= (+1)(-1) \\C_{31} &= -1\end{align*}\]
가 된다.
여인수 행렬
원소에 대한 여인수 \(C_{ij}\)를 (i,j) 행렬 위치에 배열한 것을 여인수 행렬
\[C = \begin{bmatrix}C_{11} & C_{12} & C_{13} \\C_{21} & C_{22} & C_{23} \\C_{31} & C_{32} & C_{33}\end{bmatrix}\]
주어진 행렬
\[A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 4
\end{bmatrix}\]
에 대해 모든 여인수를 계산하면
\[\begin{align*}C_{11} &= 4, & \quad C_{12} &= -2, & \quad C_{13} = 1 \\C_{21} &= 0, & \quad C_{22} &= 5, & \quad C_{23} = 0 \\C_{31} &= -1, & \quad C_{32} &= -2, & \quad C_{33} = 1\end{align*}\]
이다.
따라서 여인수 행렬은
\[C = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\-1 & -2 & 1\end{bmatrix}\]
이다.
의미
여인수는 determinant를 전개할 때 각 원소 옆에 붙는 계수이다.
다음과 같이 표기된 행렬A가 있다.
\[A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\-1 & 0 & 4\end{bmatrix}\]
그리고 행렬 A의 여인수 행렬이 다음과 같다.
\[C = \begin{bmatrix}C_{11} & C_{12} & C_{13} \\C_{21} & C_{22} & C_{23} \\C_{31} & C_{32} & C_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\-1 & -2 & 1\end{bmatrix}\]
예를 들어 첫 번째 행을 기준으로 determinant를 전개하면
\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{11} \\ C_{12} \\ C_{13} \end{bmatrix} = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}\]
\[\begin{align}
\det(A) &= a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \\[0.5em]
\det(A) &= 1(4) + 0(-2) + 1(1) = 5
\end{align}\]
즉 원래 원소 \(\times\) 그 원소의 여인수를 한 행 또는 한 열에 대해 모두 더하면 A 행렬의 determinant가 된다.
행렬식(det)은 아무 행 하나를 선택해서 그 행의 원소와 그 행에 대응하는 여인수를 곱해서 더해도 항상 같은 값이 나온다.
실제 계산해보면 두 번째 행을 선택해도
\[\det(A) = a_{21} C_{21} + a_{22} C_{22} + a_{23} C_{23}
= 0(0) + 1(5) + 2(0) = 5\]
동일한 값이 나온다.
수반행렬(Adjugate Matrix)
여인수 행렬을 전치(transpose)한 행렬을 수반행렬 또는 adjugate matrix라고 한다.
\[\operatorname{adj}(A) = C^T\]
현재 여인수 행렬이
\[C = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}\]
이므로 전치하면
\[\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -2 & 5 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
수반행렬을 이용한 역행렬 계산
수반행렬을 통해 역행렬을 계산할 수 있는데 수식은 다음과 같다.
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)\]
단,
\[\det(A) \neq 0\]
이어야 한다.
우리가 아까 구했던
\[\det(A) = 5\]
이므로 따라서
\[A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -2 & 5 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
가 된다.
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